Sur un problème combinatoire 



par L. LEAU 



Etant donnée une succession linéaire de n lettres 



u, u, u,i , 



cette expression peut acquérir d'elle-même un sens déterminé 

 lorsque l'on attribue à ses éléments certaines significations. Ainsi, 

 dans le cas de deux lettres, si la première réprésente « sinus » et 

 la seconde « 45° », dans le cas de trois, si la première et la dernière 

 désignent des nombres quelconques et la seconde « plus », 

 « moins », « multiplié par » ou « divisé par », ou « égal à ». Une 

 telle formule sera dite binaire, ternaire, quaternaire... selon qu'elle 

 contiendra deux, trois, quatre éléments. 



Mais l'expression considérée peut aussi ne recevoir un sens 

 déterminé qu'après que certains éléments consécutifs ont été 

 préalablement groupés, de sorte que ces groupes ne jouent plus 

 que le rôle d'éléments simples. Par exemple, dans le cas de cinq 

 lettres, la notation 3 -[- 4 X 7 acquiert un sens précis lorsque 

 l'on imagine remplacé par sa valeur le groupement soit des trois 

 premiers signes, soit des trois derniers. On obtient ainsi des 

 formules complexes dont quelques-uns des éléments sont des 

 expressions qui peuvent être complexes elles-mêmes. La logique 

 et l'analyse en fournissent d'innombrables exemples. 



Quel est donc le nombre total des formules théoriquement 

 possibles avec une suite de n lettres ? Tel est le problème 

 combinatoire qui se pose naturellement et que signale M. Peano 

 dans son « Introduction au Formulaire de Mathématique (i) », 

 page 12. Après avoir rappelé la solution donnée par Lucas dans 

 le cas de combinaisons binaires seulement, l'éminent professeur 

 de l'Université de Turin indique que l'on ne connaît pas encore 

 de solution dans le cas général. A sa connaissance et à la mienne, 

 la question n'ayant pas été traitée depuis lors, je me propose 

 de la résoudre ici. 



Appelons a,^ le nombre d.^s formules que l'on peut obtenir 

 avec n éléments et posons 



(i) Publié par la « Rivista di Matematica 2', Turin, 189^. 



