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lettre, accciiluiM^ pour S', deux points correspondants sur les 

 surfaces, par la même pel il e lettre, accfntiit'c pour P', les projections 

 de ces deux points sur les plans tangents. 



Ayant l'ait choix d'un infiniment petit piincipal quelconque L cl 

 prenant deux points u et v dont l(*s distances à M et la propn.' 

 distance soient d'ordre inlinitésimal éi^al à un, nous allons évaluer 

 l'ordre des différences u v-u' v', M u-jM' u', M v-M' v' des côtés 

 des triangles rectilignes u M v, u' M v', el l'ordre de la différence 

 de leurs angles en M et M'. 



Cotés. — Si l'on admettait la notion du ds- commun des deux 

 surfaces 



ds'^ = E d rj} + 2 F (i y. d ,S -f- G d (3^ 

 le résultat serait immédiat ; car d'une part les distances ii U, v V, 

 sont du second ordre (au moins) et par suite les différences M U- 

 Mu, M V-M V, U V-uv du troisième, d'autre part les termes du 

 second et du troisième degré de UV- sont, les deux points étant 

 obtenus pour les valeurs a, [3 ; a -(- h, p-\- k des paramètres. 



1 oE /^F I âE\ 

 Eh^ + 2Fhk + Gk^+ _ Ir^+I h ) 



2 ô a \8 y. 2 (5 [j / 



G d F\ . , I d G . 



k- -^ T-r k =^ 



ir-k 



(j^ d G d F\ 

 2 T7~^'op ) 



2 



Ainsi les différences de U V, U' V enlre eux et respectivement 

 avec u vet u' v', do)ic aussi u v-u' v' sont au moins du troisième 

 ordre, et ce résultat s'applique évidemment àM u-M'u', Mv-M' v . 



Si l'on ne veut pas faire appel à la notion du ds- commun 

 on atteindra le même résultat par une analyse un peu plus 

 détaillée. 



Les distances Mu et M v étant supposées d'ordre infinitésimal 

 au moins égal à i, considérons le plan perpendiculaire à P 

 suivant u v ; il donne dans S un arc de section L allant de U à V : 

 je dis que cet arc, la corde UV et uv diffèrent entre eux d'infiniment 

 petits du troisième ordre au moins. En rapportant la surface à 

 son plan tangent en M un calcul simple montre que l'angle avec 

 P d'une tangente quelconque à S en un point N infiniment voisin 

 de M est au moins de l'ordre de M n ; on peut, d'une manière 

 précise, trouver une quantité fixe À telle que cet angle soit inférieur 



