SURFACES APPLICABLES ET COURBURE GEODESIQUE 9 



à À. Mn. Admettons d'abord que L n'ait pas de points d'inflexion, 

 menons les tangentes UT, VT, on en conclut aisément que la 

 difî"érence (U T -|- V T)- uv et à fortiori les deux autres sontau 

 moins du troisième ordre ; ce résultat subsiste en cas de points 

 d'inflexion parce qu'il s'applique à chaque partie de la ligne 

 décomposée par ces points en plusieurs arcs ayant chacun une 

 concavité bien déterminée. D'une manière précise, il existe une 

 <onstante y. telle que chacune des trois difi'érences envisagées soit 

 en valeur absolue inférieure à jx t^. 



L'arc de S qui se projette suivant Mu lui est équivalent ; donc 

 aussi l'arc correspondant de S ; par suite M'u' qui lui est inférieur 

 et de même M'v' sont au moins du premier ordre. Soit L',, l'arc 

 analogue à L ; les différences entre L'i, U'V et uv' sont du 

 troisième ordre. Si les arcs L et L'i, ne sont pas égaux, admettons 

 que L soit le plus petit ; son homologue L' lui est égal, est inférieur 

 à L'i, et supérieur à U'V'; parconséquentles difî"érences entre deux 

 quelconques des quantités L, L',, UV, U'V et notamment uv et 

 u v' sont du troisième ordre. Ces résultats s'appliquentévidemment 

 si, à l'un des points u, v, on substitue le point fixe M. 



Angles. — Je dis que, si Mu et Mv sont du premier ordre, la 

 différence des angles uMv, u'M'v' est au moins du second. 



En efî"et, choisissons un nouveau point w dont la distance à M 

 soit aussi du premier ordre ainsi que dans chacun des triangles 

 uM w, vMw l'excès de la somme de deux côtés sur le troisième. 

 Il en sera manifestement de même dans les triangles u' M' w', 

 v'M'w^'. Dès lors, comparant les expressions des tangentes de 



— et de-- dans les trianeles uMw et u'M'w' dont les côtés 



22 "O 



homologues ont pour différences des infiniment petits du troisième 

 ordre, on en conclut de suite la proposition en ce qui concerne ces 

 angles ; la même propriété a lieu dans les triangles vMw, v'M'w', 

 <'t par suite pour les angles considérés uMv, u'M'v': si l'un d'eux 

 <st du premier ordre, l'autre lui sera donc équivalent. 



Démonstration du théorème. — Nous prenons sur c les points 

 u et V, les trois distances Mu, M v, u v étant du premier ordre. 

 Le rayon du cercle circonscrit au triangle M u v a pour expression 

 — :^^-ri — et le rayon du cercle circonscrit à M' u' v', , ^; "..■''m' v- 



2 sin u M V •/ 2 sin u M v 



Si l'un des rayons, le premier par exemple, a une limite finie, 



