SURFACES APPLICABLES ET COURBURE GÉODÉSIQUE II 



manière que les tangentes aux lignes correspondantes coïncident, 

 le sens sur deux d'entre elles étant le même et par suite sur 

 toutes. 



Gela posé, avec trois axes rectangulaires en M, l'axe des Z 

 étant perpendiculaire au plan P, on a pour les équations des 

 surfaces 



z = f(x, y) et ^' =g (x', y') 

 x,y, z] x' , y', z' désignent les coordonnées de deux points 

 homologues. 



Le mode de correspondance pour les projecti ons sera défini pai 

 des équations de la forme 



x' :=. a X -\- h y -\- c x"- -\- 2 d y x '\- e y"- -\- z.^ 

 y'^=- a' X -{- b' y -\- c' X' -\- 2 d y' X -{- e' y"' -\- z-^ 

 £3 désignant dans ce calcul divers infiniment petits du 3' ordre au 

 plus quand \/x--\-y~ est du premier. 



Soient x, y les coordonnées de u ; x -\- h, y -\- k celles de v ; 

 x' y' et x' -\- h', y' -\- k' celles de u' et de v'. On a d'abord 

 «i=r6'=i, h =^ a' =: o puisque les tangentes aux courbes 

 correspondantes coïncident et que M u et M u' sont simultanément 

 du premier ordre. Puis : 



( h'=ih^c {2xh^h-)^-2d {yh-\-xk^hk)-\-e{2yk-\-k'-)+h 

 I k' = k^c' {2xh^h-)-\-2d'{yh-\-xk-\-hk}-^e'{2yk-\-k^}-\-e3 



^ï" u' V- — u V' ^ {^' ^' — ^ ^^ (^' v' -\-u v) quantité du 4*^ ordre 

 X, y, h et k étant considérés comme du premier et indépendants. 

 Donc, dans h'- -j- k'-- (A- + k-) le polynôme du troisième degré 

 en X, y, h, k doit être identiquement nul ; ce qui exige que 



On a par suite 



i x' =^ X -\~ £3 



1 ^' = y + '3 



U u' est du troisième ordre par rapport à Mu : donc u et u' 

 décrivant les courbes c et c', les rayons de courbure de ces lignes 

 en M sont égaux. 



