PROPRIETES DES PROGRESSIONS PAR DIFFERENCE 71 



Un calcul fort simple donne pour l'expression de cette somme : 



et par conséquent la valeur moyenne des termes de ce groupe est : 



« + ^(«-l)+5;(N2-a2). 



Dans le cas particulier indiqué au début, on a a=:x=p = l, 

 et r = 2 ; on retrouve N"^ pour valeur moyenne. 



Pour toutes les progressions (II) commençant par 1, l'expression 

 se réduit à 



a J- L (N2 _ 1). 



r 

 Si, en même temps, - =i 2 p, on obtient aN"^. 



T 



en outre le rapport - est égal à 2, on retrouve. la proposition du 



r 

 début, sans y rien changer. 



Par exemple, la progression 



1 . 7 . 13 . 19 



de raison 6, en formant des groupes des 1, 4, 7,... termes, donne : 



1 . 7.13.19.25, 



et les valeurs moyennes sont : 



1, 16, 49, 



c'est-à-dire que les sommes sont : 



13, 43, 73, 



Si les raisons des deux progressions (P) et (H) sont égales et 



qu'elles commencent par 1 Tune et l'autre, la valeur moyenne est 



N2 4- 1 



r' — 3 ainsi qu'on peut le vérifier sur les groupes suivants : 



1 . 2.3 . 4.5.6 . 7.8.9.10 . 11.12.13.14.15 



