NOTÉS DE GEOMETRIE ANALYTIQUE 163 



première et de seconde classe. Les premiers sont des déterminants 

 du second ordre, qui se partagent en deux catégories : les uns symé- 

 triques, tels que 



I \ Su S, 2 I 

 I 02( O22 I 



au nombre de trois ; les autres, non symétriques, tels que 



o^^ .3,(2 



au nombre de trois également. 



Les seconds ne sont autres que les éléments eux-mêmes du déter- 

 minant fonctionnel, et se partagent encore en deux groupes : les 

 éléments principaux, S^^, S22, S23 ; et les éléments non principaux, 



^23' ^311 ^12- 



Nous nous proposons de trouver d'autres formes du déterminant 

 fonctionnel et de ses divers déterminants mineurs. 



i° Eléments principaux S^^, 822)^33. — Considérons d'abord l'élé- 

 ment S,, ; son développement est fourni par la formule (14) : 



1 



Su = 2 {x^S'x^ + y, S'y, + zS'z^) 



^ a;^ {aXi -f hy^ + (/z,) + ^/^ {hXi + 6*/, + gz,) + z^ {gXi + fy, + cz,). 

 Ce dernier développement peut s'écrire : 



Sh = ^^i («Da;< -1- /iD'//, -f gJ)z^) + | ■(/, [hDx^ + ôDt/, + f/Dz,) 



-^^z,{gT)x, + f])y,+xDz^). 



^ ^ Xi [(BC - ¥-^)x, + (FG - GH)y^ + (HF - BG)z^] 



+ ^y^ [(FG - CH)a;^ + (CA - GS)?/, + (GH - AF)z,] 



+ g z^ [(HF - BG)a;^ + (GH - AF)2/i + (AB - H2)z^]. 



1 . • - 



Or, abstraction faite du: facteur commun g, on reconnaît aisément 



que le second membre est le développement du déterminant : 



A H G a;^ 



H B F y^ 



G F G z, 



Xi yi Zi 



