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Au lieu de transformer en déterminant le second membre de 

 l'identité (26), on aurait pu effectuer les multiplications indiquées ; 

 on aurait ainsi obtenu Tidentilé développée : 



(26') 



'-'21 '-'22 



Cas particulier 

 simple : 



le déterminant 



= A((/^Z2 — ^\y-2)^ + B {z^x^^ — x^z.f + G [x^y.i — y^x-i)-^ 

 + 2 F [z^Xr — XfZ^) [Xfy^ — y^a?2) 

 + 2 G {Xfy.2 — y^xo) (î/iZg — z^y^) 

 + 2 H {y^z.2 — z^ya) (z^a?^ — x^z.2). 



Supposons que la fonction S soit de la forme 



S = a;2 ^ 2/2 _|_ 22 ; 



I ^if ^12 I 

 I '-'21 '^22 I 



devient : 



^21 '^22 



yr 



X \X'^ 



y\y2 



!^\X-i + y\y-2 + 2|22 X-:^ + y-i^ + ^2^ 



- {a^^^ + yC- + '^C-) {^^ + y^ + H') - (^.^2 + y^yi + ^^-^^ 



L'application de la formule (26') donne alors l'identité : 



(30) {XC- + 2/^2 + ^.,2) (^^2 4. y^2 + 2^2) _ (^^^^ + y^y^ _,_ ^^2^)2 



= (^1^2 — 2i2/2)^ + (^liTa — a;^Z2)2 + [x^y^ — 2/,a?2)2, 



connue sous le nom à' identité de Lagrange et d'un usage constant en 

 Mécanique. 



4° Déterminants mineurs non symétriques du déterminant fonc- 

 tionnel. — L'un d'eux est : 



I '^31 '-'32 I 



En y remplaçant les éléments par leurs développements et diri- 

 geant les calculs comme il vient d'être fait pour les déterminants 

 mineurs symétriques, on arrive à l'identité : 



(3i: 



Su S|2 

 §31 §32 



A H G a?| X.-, 



H B F 2/^ yl 



G F G z^ Z2 



x^ yi zi 



a^z 2/3 ^3 



A H G .7;, .7:3 



H B F 2/^ 2/3 



G F G z^ Z3 



a:\ yi Zi 



X.2 :(/2 Z2 



