170 JOSEPH DESCHAMPS 



(XXXI) 



S^^ S,2 I ^ I J)^| 12 



(XXXII) 



I S22 S23 I _ I D,- I 23 

 I 8^2 Si2 I "" I 21 



(XXXIII) I ^3 §31 ! I D. I 31 



023 02.i ' I 32 



D. 1 



123 



123 



I S^4 S^2 S^3 I 

 (XXV) I S2^ S22 S23 h^ — D. 



I §31 S32 S33 I 



(X.XXVI) s [x^ - x.^, y^ - y^, s, - Z2) = S^, + S22 - 2 S^2 



= i r Dr I 012 I 

 ^ D I 012 I 



qui s'expliquent d'elles-mêmes. 



III. FORME QUADRATIQUE A QUATRE VARIABLES 



Les développements qui viennent d'être donnés sur les formes 

 quadratiques à deux ou trois variables suffisent pour faire com- 

 prendre la marche à suivre dans le cas d'un nombre plus grand de 

 variables. Cela va nous permettre d'exposer, sans entrer dans trop 

 de détails, les résultats relatifs à quatre variables. 



1° Définitions et notations. 



Considérons la forme : 



^ [x y z t) = '& = ax"- -\- hy^- + cz"- + dt^- + ^fyz + 2 gzx 



+ 2 /la??/ + 2 Ixt + 2 myt + + 2 nzt 



ayant pour dérivées partielles : 



1 



- S'x = ax + hy + gz + U, 



- S'y = hx -\- by -\- fz-\- mt, 



1 



-S^^ gx -^ fy -^ cz -\- nt, 



1 



- S't ^^ Ix -{' my -{- nz 4- dt, 



d'où, par le théorème des fonctions homogènes, l'identité 



S {x y z t) ^^(a;S'a: + ySV + zS', + tS't). 



