LE PROBLÈME DE CAUCHY 



POUR LES SURFACES APPLICABLES SUR LE PARABOLOÏDE DE REVOLUTION 



Par E. SERVANT. 



Les surfaces S, applicables sur le paraboloïde de révolution sont 

 connues depuis longtemps ( VVeingarten, Ossian Bonnet). M. Darboux 

 a donné les équations de la surface S sous une forme élégante et en 

 a donné la contruction géométrique à l'aide de courbes à torsion 

 constante. Plusieurs problèmes restent néanmoins à résoudre : nous 

 étudierons ici le jprohlème-de Cauchy. Il s'agit de déterminer une 

 surface S passant par un contour donné et admettant le long de ce 

 contour des plans tangents donnés. Ce problème semble ne jamais 

 avoir été étudié. Il est vrai que M. Calo (i?. c?eiWa^/i.) a donné la solu- 

 tion du problème de Cauchy pour les surfaces de Wengarten dont S 

 est la développée; maisles deux problèmes sont très différents : tan- 

 dis que le problème de M. Calo se résout par quadrature, le problème 

 analogue relatif à la surface S dépend d'une équation différentielle 

 du 3^ ordre qu'il paraît impossible d'intégrer dans le cas général. 

 On peut la mettre sous la forme : 



(i) U- + I U" + (kU "'^3 + i-^ u' + K, g- U "' = 



S est une fonction de la variable, SK et K, des constantes. Ce type 

 d'équation fut étudié d'une façon complète par M. Painlevé ; mais 

 dans le cas présent cette étude ne semble pas devoir présenter beau- 

 coup d'intérêt. 



Après avoir étudié directement le problème, nous montrons qu'il 

 peut se décompo^ser en deux problèmes distincts : 



1° Trouver sur le paraboloïde une courbe G dont la courbure géo- 

 désique est une fonction donnée de l'arc; 



t" Déformer le paraboloïde, de telle sorte que G' vienne coïncider 

 avec une courbe r. 



Ceci résulte immédiatement d'une remarque de M. Darboux [Th. 

 des Surf., t. 111]. 



Le premier problème dépend de l'équation différentielle du 



