PROBLEME DE CAUCHY 199 



3" ordre et le second n'exige que des quadratures. On petit intégrer 

 complètement dans le cas oîi r est une géodosique de la surface ou 

 un cercle géodésique; malheureusement les formules sont encore 

 compliquées et ne permettent pas d'applications simples. 



Nous étudions ensuite les surfaces S inscîites dans une surface 

 donnée et coupant une surface donnée sous un angle constant; ces 

 problèmes se ramènent au problème de Cauchy; on peut en déduire 

 en particulier des surfaces S ayant pour ligne de courbure une 

 courbe plane. 



Le cas oîi l'on donne une asymptolique de S se traite sans aucune 

 difficulté; la courbe doit satisfaire à une condition que l'on peut 

 exprimer sous forme géométrique d'une façon assez simple. 



Nous montrons enfin comment on peutpasser duproblème de Cau- 

 chy au problème traité par M. Calo ; il faut pour cela intégrer l'équa- 

 tion du 3^ ordre. 



Proposons-nous de déterminer une surface applicable sur un 

 paraboloïde de révolution passant par une courbe donnée G \ocyz) 

 et admettant le long de cette courbe des plans tangents donnés 

 (XYZ). 



Prenons pour définir la surface (S) les formules de M. Darboux 

 (Th. des surfaces, t. 111), on devra avoir, le long de la courbe C, 



/ da; = (ç 4- cp^) {^^ — d'\) — (? + ?() (rf?i — (k) 



(1) \dy = {i^ + f,) (rfA - df) - (/■ + A) (d^^ - d^) 

 \ dz={f + f,) (rf?, - d?) - (? + ?0 (rfA - df) 



les formules sont, il est vrai, relatives à une surface applicable sur 

 un paraboloïde imaginaire; mais comme le raisonnement n'est aucu- 

 nement modifié par cette circonstance et que l'on passe aisément au 

 cas du paraboloïde réel, nous conserverons ces formules, qui sont un 

 peu plus simples. 



Nous savons que l'on doit avoir : 



(2) S/'2 = 8^2=1^ 



et il vient, en écrivant que la normale à la surface le long de C est 

 XYZ, 



^"^^ ■ X - Y - Z * 



Considérons le trièdre formé par la tangente àla courbe C, la nor- 



