PROBLEME DE CATJCHY 203 



Si nous tirons la valeur de r de cette équation, il viendra : 



/>2 + (4pV)2 + fm + ^'Y zzz 1 



d'où : 



3 / 



ds 



intégrale hyperelliptique. 



Vl — p^ — fm -\- 4Aj93n^2 

 3 



Dans le cas où A (S) est une fonction quelconque de l'arc, on 

 n'aperçoit pas facilement de moyen d'intégrer le système ('), mais on 

 peut néanmoins en tirer des conséquences intéressantes. 



Remarquons d'abord que le système (6) ne dépend que de la fonc- 

 tion A (S); on en conclut de suite que si l'on peut résoudre le pro- 

 blème de Cauchy pour un certain système {xyz^ XYZ) on pourra 

 également le résoudre pour tous les systèmes (^c^y^z,, X,Y, Z,,) pour 

 lesquels la quantité A sera la même fonction de S. (A a une expres- 

 sion géométrique simple, c'est : 



__ sin 03 



~ P 



où p est le rayon de courbure de la courbe C et w l'angle de la nor- 

 male XYZ avec le plan osculateur.) 



.Voici la raison de ce fait : on voit facilement que le problème de 

 Cauchy peut se ramener à la résolution successive des deux pro- 

 blèmes suivants : 



1° Problème. — Déterminer sur le paraboloïde une courbe r dont 

 la courbure géodésique exprimée en fonction de l'arc soit égale à 



A (S); 



2° Déformer le paraboloïde de telle sorte que la courbe r vienne 

 coïncider avec la courbe C. 



Nous allons montrer que le premier problème revient à l'intégra- 

 tion du système (6) 



Soit : 



rfs2 ~ du^ + C^dv^ 

 (1) Voir Darboux, Th. des surf., III. 



