204 PROBLÈME DE CAUCHY 



l'élément linéaire du paraboloïde, on aura : 



— rfM = 4v'l — cMC 

 et l'équation du problème sera : 



^ ,^, dfo' du' . dv 



(Toutes les notations sont celles de M. Darboux.) 

 On aura dans le cas du paraboloïde : 



du V A V ^G 



ds du 



si l'on pose : 



p2 — 1 _ G2 



et que l'on prenne p pour fonction inconnue, l'équation du problème 

 devient : 



l(*^=f) + 4 = -0~^'-{*^^f)' 



c'est précisément l'équation que l'on obtient en éliminant r et q entre 

 les équations (6). Or il est bien évident que le problème (1) ne 

 dépend que de A (S). 



Examinons maintenant le problème 11, nous connaissons la courbe F 

 tracée sur le paraboloïde ; on a alors uvC et A en fonction de S. On 

 calcule facilement les quantités pqr ; il vient : 



p = VI — c2 q=:C -— r = C2-r-, 



ds ds 



il suffit donc pour achever le problème de calculer les cosinus direc- 

 teurs XYZ ; or on a, si {œyz) sont les coordonnées de C : 



1 SX ^ = SX2 = 1 



ds 



A /C\ Il Y ^" ^" Il 



