PROBLÈME DE CAUCHY 205 



qui donnent XYZ; la surface cherchée est alors donnée par les for- 

 mules (4). Elles s'écrivent en remplaçant XYZ par leurs valeurs 

 tirées des équations précédentes : 



f =z p [a.' cos CT -f- a" sinnr) + q (a" cosct -|- «' sinw) -|- ra. 

 fi=P{ ) — g ( )—ra 



ou a p 7 a' — a" sont les cosinus directeurs de la tangente, de la nor- 

 male principale et de la binormale à la courbe C. 



Nous allons donner quelques exemples simples de surfaces déter- 

 minées par le problème de Cauchy. Examinons d'abord le cas où la 

 courbe donnée doit être un cercle g-éodésique correspondant à un 

 parallèle du paraboloïde ; on a dans ce cas, si l'élément linéaire est : 



u = c^ 



ou 



G' = c2 

 et enfin : 



on en tire de suite 5' = et r = G^ ; on peut poser : 



p =1 cos? r =z sintp 



d'où à l'aide des formules (6) ; 



(1) A = --i— = ^ 



^ 4sm<pco3ç p 



d'où de suite les cosinus directeurs par les formules: 



X :i= a'coscj + «""sin cT 

 Y = p'cosci -j- P' 



et enfin on a pour : 



(2) /"= cos5p(a'coscT -f- a'sinnr) 4- sinç-^ 



si la courbe est un cercle qui sera nécessairement une ligne de 

 courbure de la surface ; on voit de suite que l'on a : 



9 = <Dn z=z G 



