206 PROBLEME DE CAUCHY 



par conséquent les courbes à torsion constante sont des hélices cir- 

 culaires. 



Si la courbe est plane et que Ton connaisse p en fonction de l'arc on 

 peut achever sans difficulté; le problème l'équation (1) donne w et il 

 suffit d'appliquer les formules (2). 



Supposons que l'on ait p = ms, il viendra : 



sin CT = K§ 



et l'on obtiendra une surface ayant pour cercle géodésique une spirale 

 logarithmique. 



Sila courbe donnée doit être une géodésique de la surface, on doit 

 avoir : 



sinw = 

 et les formules deviennent : 



f = pa -}- qa." -{- ra. 

 avec les conditions : 



^ ds 



d'où 



ou l'on a posé : 



ds = ^P'^^ = = 4K2 sin 9d? 



y/l — V — p2 



1 — ro^z=K^^ = sm<f. 



K 



Si l'on définit alors la courbe C par les formules : 



a; = K/4a(ip) sin^çdiy Sa^ =: 1 



y = K/4[3(cp)sin2?dcp 

 z = K/4y(ç) sin^çdip 



il vient : 



f = K sin ça' -j- K^ cos 9 a" + ^'o* 

 /"i = K sin a' — K^cosça" — r^a. 



