208 PROBLÈME DE CAUCHY 



Inversement considérons les équations (6) : 



-d-s + ^^=' 



ds 4p 



dp 

 ds 



q z=z 4p2 



donnons-nous arbitrairement une desquantitéspst' ou, ce qui revient 

 au même, une courbe r tracée sur le paraboloïde; on peut déformer 

 le paraboloïde de telle sorte que r se transforme en une courbe quel- 

 conque ; en particulier on peut déformer le paraboloïde de telle sorte 

 que r vienne coïncider avec C et pour que les plans tangents le 

 long de C soient précisément les plans tangents de S, il faut C et il 

 suffit que C ait même courbure géodésique sur S que F sur le para- 

 boloïde. 



Le problème revient donc à celui-ci : trouver sur 21 une courbe C 

 ayant une courbure géodésique donnée A (S). 



On voit donc de suite que Ton peut toujours résoudre le problème 

 quand S est une développable ; le problème revient alors à trouver 

 une courbe plane dont le rayon de courbure est une fonction donnée 

 de l'arc. 



Etudions d'une façon générale le problème suivant : déterminer 

 sur une surface (S) une courbe de courbure géodésique donnée 

 A (S). On a en général à intégrer l'équation : 



. ,„, dw , du , dv 



^^^^dl-^'Ts + '^Ts' 



Supposons que nous ayons mis l'élément linaire delà surface sous 

 la forme .: 



ds2 = du2 _|. C2dD2, 



il vient de suite 



r = Vi 



de 

 du 



du . dv 



COStDr=-r- Sina) = C-r) 



ds ds 



et l'équation s'écrit : 



, , dw 1 de . 



