PROBLEME DE CAUCHY 209 



il est bien évident que si on parvient à déterminer w, le problème 

 est résolu; deux cas intéressants se présentent donc immédiatement. 

 Si C est fonction de v seulement, w se détermine par quadratures; 

 c'est le cas où S est développable; si l'on a : 



on aura à intégrer l'équation de Riccati : 



^(S) = ^+sinw 



la surface est alors à courbure constante. 



Dans le casg-énéral, on a àintégrer le système des trois équations : 



Si Ton prenait des coordonnées rectangulaires quelconques sur la 

 surface, ce système prendrait la forme : 



. du . ^ du 



cos w = A -p sm oj =: C T- 



ds ds 



A (S^= — + ~ cos M 4- — sm w 

 ds Pf p2 



P2 et p, étant les courbures géodésiques des courbes coordonnées ; ce 

 système n'est pas en général intégrable. 



Examinons en particulier le cas où la surface S doit être inscrite 

 dans une sphère : sa courbure étant constante le problème dépend 

 d'une équation de Riccati. Donnons-nous arbitrairement la fonc- 

 tion p, nous en déduirons A (S) et les formules de Codazzi donnent 

 de suite : 



ds2 = du^ 4- G2dt)2 



sintj doj , 1 de . . ,„, 



= -V- + - 3- sincT = A a 



p ds c du 



COSCT i_ cfa 



p ~ T~ ds 



