210 PROBLÈME DE CAUCHY 



on en tire de suite : 



tgt.= A(S) -^ = 1 +^HS) = 



p 



p = COS CT 



la courbe de contact C est alors déterminée par sa courbure et sa 

 torsion, etl'équation de Riccati qui détermine la courbe est alors : 



di i<3^ cItïï ia i dnr 



ds 2 ds coscj 2 ds 



On peut encore procéder de la façon suivante : prenons l'élément 

 linéaire de la sphère sous la forme : 



(a - P)2 



il vient de suite 



^^^) = -^^ + li^''^ — (^'''') (1) 



2 du 2 dv 



a — [i ds a — ^ ds 



on aura donc à intégrer l'équation de Riccati ('). Il est malheureu- 

 sement presque impossible d'en tirer des applications, car si l'on 

 prend pour A (S) des fonctions qui rendent 'l'équation (1) immédia- 

 ment intégrable, on aura à intégrer le système (6), 



La courbe de contact C est une ligne de courbure de la surface. 



Proposons-nous plus généralement de déterminer toutes les sur- 

 faces S qui coupent une surface donnée S sous un angle constant a. 

 Si l'on se donne la courbe C tracée sur L, on aura immédiatement 

 la courbure gédésique de C par rapport à S ; d'où A (S) par la for- 

 mule : 



^^g^^sin(^-a) 



€t l'on aura à intégrer le système (6). Inversement, si l'on se donne 

 arbitrairement une des quantités pgr, il faudra déterminer sur L 

 des courbes telles que : 



^ sm(^-a) 



