PROBLEME DE CAUCHY 211 



A (S) étant une quantité donnée. Supposons la surface L rapportée à 

 un système orthogonal quelconque, on aura: 



ds2 = A du^ + Cdv^ 



.du . dv 



COSw:=A-r- smw=:C — 



ds ds 



i sincT do) 1 , i . 



ps p ds p„ p„ 



p cosCT . f du ^ dv\ , / du , dv\ 



et l'équation du problème s'écrit : 



1 1 



— cosa-j sina = A(S). 



Ps- p" 



Supposons que L soit une sphère de rayon 1, il vient de suite : 



Pu 



d'où: 



A(S)— sina 



tara = — ^^-^ 



° COS a , 



p = COSbt 



1 rfcr 



T ~ rfj 



la courbe G' est alors déterminée intrinsèquement, et l'on est ramené 

 à l'intégration d'une équation de Riccati. 

 Si la surface S est un plan, on a alors : 



d'où 



sini - — a 



A(S) = '-^ 



Le problème revient à déterminer une courbe dont le rayon de 

 courbure est donné en fonction de l'arc. On voit donc que l'on peut 

 par ce procédé déterminer une infinité de surface S ayant pour ligne 

 de courbure une courbe plane. 



A cause de la nature des équations (6), il est difficile de donner 



