PROBLÈME DE CAUCHY 215 



Déterminer une surface S passant par une courbe C, de telle sorte 

 que la surface complémentaire S^ passe par une courbe C^, les 

 courbes C et C^ se correspondant. 



Les courbes C et C^ ne peuvent être prises arbitrairement, il y a 

 entre elles une liaison géométrique évidente : supposons que l'on ait 

 établi entre C et C,, une correspondance par égalité d'arcs, soit M et 

 Mo les formes correspondantes de C et Cq, T et T^ les tangentes cor- 

 respondantes, il faut que les plans MTo et Mo T soient rectangu- 

 laires. Supposons cette condition remplie, le problème se traite 

 alors aisément. 



Soit M [xyz) et M^, (a^oJ/o-^'o)» les coordonnées des formes corres- 

 pondantes de C et C on aura : 



d'où 





X — a?o = 2 (9^j/^ — 



y - 2/0 = 2 m 



Soit XYZ les cosinus directeurs de S au point M et X^Y^Z^ les 

 quantités analogues relatives à M^, ces cosinus se calculent de suite 

 par les équations : 



SX da: = SXq àX(^ 



SX [x — aro) = SXq [x — x^=zQ 



et l'on aura d'autre part : 



X Y 



X 



v'2 (1 + H) 



r-A ^-^_^_j,^^,_^__^ 



) *i ^) 



donc on peut calculer /<p... /,fj>|... par des opérations algébriques. 



Ce problèmeest celui résolu par M. Calo sont équivalents ; en effet, 

 si l'on se donne sur la surface W une courbe et les plans tangents le 

 long de cette courbe, on peut immédiatement calculer les rayons de 

 courbures principaux de la surface ce qui donnera les courbes C 

 et Co(deTaunemberg, C.R.1903). Inversement C et C^ étant connus, 

 on a immédiatement les rayons de courbure de W et par conséquent 

 une courbe de cette surface ; les cosinus directeurs de la normale 

 sont : 



X — xç^ y — Vo z — 2o- 



