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d'où la solution connue aussi 



(^2 _ y2)2 ^_ (a,2 _ ^2) (y2 + 2xy) + (y2 + 2.3^y)2 = [a;2 + xy + î/2]2. 



Mais l'exemple le plus topique nous sera fourni par la décompo- 

 sition des nombres, sujet étudié avec succès par plusieurs de nos 

 collègues de la S. P. (^), et par ma méthode particulière de solution 

 à l'aide d'une condition de la forme : 



Az2 + Bz + C == Z2 



Je ne puis rappeler ici, même brièvement, toutes les recherches 

 classiques ou autres sur ce sujet, et je donnerai seulement un 

 exemple simple, pris au hasard, me réservant de revenir sur ce 

 point spécial de la décomposition des grands nombres. 



J'ai choisi 



2a2 -f 3a + 4 = 72 (1) 



dont nous connaissons, à première vue, deux solutions ; la première 

 est 7. = que nous négligeons ; la deuxième est a =: 1, d'où y z= 3. 



Nous devrons avoir, en général, ^ = 1, et Y = =t 1, d'où 



Y = ax'^ — 2aaxy — y^ [ban + c) 



= ax^ — 2aaxy — y^ (y^ _ aa-) z= a{x — <xy)^ — (y?/)2 



que l'on peut écrire 



Nous aurons ici 



v2/)2 — a{x — a2/)2 



{iyyz ^2(x-y)^ = ± i ; 

 mais on sait que 2^2 — 1 n'est pas divisible par 3 ; il reste donc 



(3y)2_2(^-y)2 = l 



équation de Pell-Fermat dont nous avons toutes les solutions en 

 entiers : 



\x — y \ = 2, 70, 2378, . . . 

 I 3y I = 3, 99, 3363, ... 



(1) MM. Ern. Lebon, G. Tarry, J. Deschamps ... 



