SUR QUELQUES EQUATIONS INDÉTERMINÉES 221 



On en tire facilement les valeurs x^y suivantes: 3, 1 ; — 1, 1 ; 

 — 37, 33 ; 103, 33; ... ce qui permet de donner en quelques minutes 

 des solutions de (1), souvent fort difficiles et longues à trouver par 

 d'autres méthodes. 



Nous savons, d'autre part, que la plus petite solution de 

 u- — av^ =r ± 1 est donnée par Legendre (théorie des nombres, 

 table 10) pour a < 1 .003, et par Cayley (Report on the Pellian 

 équation, 1893) pour 1000 < a < 1500. 



Je n'insisterai pas sur ce point, et noterai simplement que l'étude 

 des Nombres de Mersenne (2" — 1 = N, avec n premier inférieur 

 à 257) peut se faire par celte méthode, où a sera un nombre fixe 

 égal à 2, puisque tout nombre N est de la forme 2it^ — v^ 

 ou m'^ — 2n^. Ainsi : 



22« + ) _ 1 — 2(2«)2 — 12 = (2"+ I ± 1)2 — 2 (2« ± 1)2=:F2 — 2 G», 



D'autre part, F est impair, égal à 2m -]- 1, et l'on doit résoudre ^ 



2m2 -4- 2m"^ + 27n + 1 — 22'^ = G2 



G2 — . m2 + (m + 1)2 — (2«)2 



J'ai trouvé ces solutions générales en posant 2" = m ou m -]- 1. 



Nous serons liés par des questions connues de limites (Voir 

 TcHEBYCHEw, par exemple) mais j'espère éviter cette difficulté. 



Je tiens à citer les O. P. de Euler (I, 205, n» 39, ou A. M. I, 95, 

 C. A. C. ]., 556) De criterns aequationis ixxx -\- ^yy^=i-^zz utrum 

 ea resolutionem achnittat nec ne? (7 décembre 1772). — Note de 

 W- L. Kraft : si l'on connaît une solution a// -|- ^gg = yhh, en 

 posant : 



« == /"p + ^gq, y = 9P — «/"</ ; 



on trouve 



X = f [rr — oi^ss) -\- 2^grs, y = 9 {rr — a^ss) — 2afrs. 

 J'ajoute la valeur 



z =: h {rr + «Pss) 



