SUR QUELQUES EQUATIONS INDÉTERMINÉES 225 



Je vais citer ici une note de Réalis, qui peut servir de réponse à 

 I.M., 3662, 1910, 49. 



La résolution de l'équation x^ + 3|/2 = z^ en nombres entiers, se rattache 

 directement à la théorie générale développée, par Lagrange, dans le § IX 

 des Additions à ranalyse indéterminée d'EuLER. 



Le nombre z, diviseur du premier membre, ne peut être que de la 

 forme a^ + 3p2 ; on a donc l'identité 



(a3 — 9ap2)2 + 3 (3a2p _ 3p3)2 — («2 _^ 332)3 



renfermant toutes les solutions entières de l'équation. En effet, à toute 

 valeur, de z de la forme indiquée, c'est-à-dire à tout système de valeurs 

 de a et p, correspondra un système de valeurs de x et y ; comme a et [3 

 peuvent toujours être supposés premiers entre eux, autant il y aura 

 de manières de représenter z par la forme susdite, autant il y aura (pour 

 le z considéré) de solutions distinctes de l'équation. On s'assure sans 

 peine, d'ailleurs, que l'identité ci-dessus, où a et [i restent indéterminés, 

 ne saurait être remplacée par aucune autre formule donnant l'expression 

 de (a2-]-3Pj3 sous la forme requise. (Catalan, Mélanges Math. 1885, p. 350.) 



M. E. FAUQUEMBEncuE a étudié 



• px^ -\- mxy -{- qy^ = z^ 



et donné des formules générales du 3^ degré ; il a aussi étudié le 

 cas de m = ; cette équation est un cas particulier de la nôtre, 

 où h = l. 



M. Neuberg a donné des solutions générales pour 



px^ -f- qy^ -{- TÎ^ = tfi 



et M. G. de J^ongchamps pour 



««3 + (3y2 -j. -j,z2 _|. 8^2 _ ji3 



mais notre méthode généralise très simplement tous ces résultats 

 avec un nombre quelconque d'inconnues. 



Je citerai aussi les travaux de Werebrusow qui transforme en 

 carré et en bicarré sans aucune solution particulière une forme 

 cubique. Mais ce travail peut être de préférence regardé comme un 

 cas particulier des chapitres suivants. 



