230 A. GÉRAIîDIN 



et si ^ = s^, on trouve 



(2/i2 + 3s^)3 -f- (/i2 — 3s'i)3 = (3/i3 — 9/ts'*)2 -f (3/is)^ 



La même méthode donne encore 



[h^ + 33/2)3 + (2/i2 _ 6/2)3 =: (3^3 _ 9/^^2)2 _|_ (9/^2^ ^ 1 §9^3)2 



Partant des deux solutions générales connues 



iP + 9''? = [P + fg^? + {g^ + gP? = {p - m^? + (ff^ - Sg^^a 



je pose 



[{P - 3^&2) a3 + ((73 _ 3(;f2) 5312 + ^(^3 __ 3^^2) «3 _ (;'3 _ j^^g^a) J,3j2 



= (/* + ^2)^ [a' + 6«) = [«^ [P + &2)]3 + [62 [p + g2)p 



Si je fais « = 5 = 1, 



2 [P + ^2)3 = [P - 3Pg - 3/'^2 4. g,3)2 + (^3 + 3^2^ _ 2fg^ _ ^3)2 



De même, j'obtiens 



[{P + r&2) a3 + (^3 4. gp^ 53J2 + [(^3 + ^^^2) ^3 _ (^3 ^_ fg2) 63]2 



= [(f2 + &2)a2]3 + [ô2(^2 + ^2)]3 



Pour a = & = 1, on a une nouvelle décomposition 



2 (/'2 + g2)3 = ^p + pg 4. /■^2 _f_ ^3)2 _)_ (^3 _ /•2^ + fg2 _ ^3]2 



A vrai dire, ces deux solutions sont implicitement connues, puisque 

 la solution 



a;3 rr: a2 + 62 _ c2 _i_ rfa 



impose 



2a?2 = 2a2 + 262 — 2c2 + 2^2 



= (a + 6)2 + (a — 6)2 = [c + d)^ + (c — rf)2 ; 



mais il suffît de choisir a et b différents, pour éviter ce cas limite. 



Il sera, je crois, préférable de changer les inconnues, c'est-à-dire 

 de prendre / et ^ pour connues ; ainsi f = '2, g = i, donneront 



(5a)3 + (56)3 — (2a3 — 1163)2 _^ (n^^s _|_ 263)2 

 =: (10a3 -f 563)2 + (5a3 — 1063)2 



