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ainsi qu'une formule de Réalis (N. C. 1878) différente de la mienne : 



[x^ -(- m^ -\- n2]3 r= [n^ — "inx^ — m^ [2x — n)]^ 



+ [x^ — Sn^a? — nfi (2n — x)]"^ 4- [m^ + imnx — m {x"^ --f- n2)]2 



Exemple. — a? = 4, m = 3, w = 2 



24 389 = 293 = 162 ^.1422 ^ 1632. 



Passons à l'étude de 



a«3 -{- by^ -(- cz3 =^ kg'^ 



et aux applications immédiates. 



Réalis a donné des formules du 3" degré pour résoudre 



x^ -{- y^ -\- z^ = kii^. 



Comme application intéressante, pour A = 1, on retrouve un pro- 

 blème étudié par Catalan en 1843 (N. A. 553) et 1866 (Mélanges 

 Math. 1883, p. 49-54), celui de la toroïde qui lui a fourni une identité 

 remarquable. 



On appelle toroïdes les parallèles à l'ellipse, c'est-à-dire les courbes qui 

 ont mêmes normales qu'une ellipse donnée. Cette dénomination est 

 fondée sur ce que la projection du contour apparent d'un tore, sur un plan 

 quelconque, est une toroïde. 



L'équation de cette courbe est 



[a?2 _f- y2 _ «2 _ 52 _ /£2]2 (a2y2 _J_ ft2^2 _ ^2^2 _ ft2y£2 _ «2^2)2 



4- 4a262/c2 (a;2 + y2 _ «2 _ 52 _ /f2)3 _ 21 a''b'>k'' 



+ 18 a262ft2 (^2 _|_ y2 _ «2 _ 52 _ /f2) («2^2 ^ fj2x2 _ a2/£2 _ 52;j2 _ «252) 

 + 4 [a2y2 4. 52a;2 _ (i2/£2 _ 52/^2 _ «2^2 ]3 — Q. 



En posant 



a = b, x'^ -\- 2/2 = u^, «2 — «a — k"^ ^= t^ 



la transformée est divisible par f' — ka'^k^, puisque l'ellipse devenant un 

 cercle avec a = 6, la toroïde se réduit au système de 2 cercles concen- 

 triques avec le premier et dont les rayons sont î< =; a ± /i : enfin, avec 

 a^ = a3, /c2 = p3, on trouve 



[a6 + 7a3[i3 -j_ p6]2 — [«' + 2apvi]3 + [(3^ + 2,8a3]3 — [3 a2p2]3 



