SUR QUELQUES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES 233 



Cette solution de X^ + Y^ -f Z» = U^ est remarquable, car on 

 a en même temps, 



X + y + Z = [a2 + a? + p2]2. 



Réalis indique encore les solutions suivantes, et j'ajoute pour 

 chacune la valeur générale de X -|- Y -}- Z, non encore remarquée : 



j (a2 + 362)6 _ («2 _ 352)6 _ (i2a2èa)3 — [g^f, («; _ 954)^2 



( X + Y + Z = 



[ X = 4 (fl2 + aô + 62)2^ Y z= — («2 -f iab + b^)\ Z = 3 [a^ — 62)2 

 ( X + Y 4- Z = 6 (a2 _ 62)2 



j X = 4(a2 + 3rt6 + 362)2, y = — (a2 — 362)2, z = — 3 («2 + i^ab + 363)2 

 ( X + Y + Z = 2 a * 



l X = 4(a2 -|. 362)2, Y ^ _ («-. -[- 6a6 - 3 62)2, Z = — 3(a2 _ 2 a6 - 362)2 

 1 X + Y + Z = 



Je vais indiquer maintenant mes résultats personnels. 

 Partant de 



{a + 6)3 — a3 — 63 = 3a6 (a + 6j 

 il suffit de poser 



a = p^, 6 = 3g2, p2 _|_ 3^2 _ p 

 p == a2 — 3|3^ g = 2ap, 



pour retrouver la première solution de Réalis 

 Si maintenant je pose l = 3hk^ dans 



[2/i2 + 3/2]3 + [/i2 _ 3/2J3 _ ^9/t2/)2 — [3/,3 _ 9 /(/2]2 



j'en tire avec q- = I, et en rendant les inconnues homogènes 



X = 2m« 4- 27mft3^ y — .„ji _ 21mk^, Z = — 9m^k, U = 3m« — 81m3A-3 



J'ai encore posé dans la même identité et dans sa voisine 

 A2 _ 3^2 ^ 1, d'où 



X = 9m« + 2«6, Y = — 3m2n«, Z = — 2n^, U = 21m^ + ^mH<^ 

 X = 36p6-^g6^ Y=:--3p-q'<, Z = — q^, U = 2 1 Ôp» + 9p3ç« 



J'arrive aux identités : 



X = 9m'' + 2mk'', Y = — dm^k^, Z = — 2mk^, U = 27m« + 9in^k^ 

 X = 36m' + mk^, Y = — ^m^k'-, Z = — mk'^, U = 216?n« + 9m3A3 



et l'on peut en trouver facilement beaucoup d'autres. 



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