234 A. GÉRARDIN 



CHAPITRE IV 



Problèmes sur les bicarrés 



Ayant une solution ax'* -j- by'* = cz^ de l'équation ciX.'' -\- bX'' = cD-, 

 on trouvera par la méthode des identités : 



X = %(fixz'^ — ka^x\ Y = Sc^yz'' — kh^\ 



Z = 4c ''z9 — 3z (aa,'î — 6?/-'')'' ; 



cf Desboves, mémoire sur l'équation aX'" -|- &Y'" = cZ'* (N. A. 

 i87.9, 265), quest. d'Algèbre (4'= éd. ^895) où il indique quelques 

 identités particulières, et C. R. 1887 , t. CIV, p. 846 et 1832. — 

 Lebesgue, Piésolution des équations biquadratiques 



s2 := a;^ ± 2'"'(/'*, z^ =: 2'« x'^ — y'*, 2'":;2 z= x'' ± y^ 



(J. M., t. XVIII, p. 73-86, 1852,). Cet auteur a retrouvé pour 

 X^ -f ÔY^ ± Z2 les formules 



X = «^ — ôy'', Y = ^xxjz, Z = ^-^ + 4 60;^?/^ 



les nombres x^ y^ z formant une solution de la question. 



Ed. Lucas, ses recherches sur \ Analyse indéterminée, et divers 

 articles... 



Ce qu'il faut remarquer ici c'est que les solutions générales 

 connues de ce problème sont du 9% 6^ ou 4*^ degrés; je vais donc 

 indiquer à nouveau ma méthode qui permet de trouver X et Y à 

 l'aide d'indéterminées au 3" desrré. 



Ayant une solution évidente /"a^ — ^p^ = A-y^, de /"X^ ~ ^Y'' = kz"^ 

 et une première solution fk"" — ^B"* = AC^, je pose 



f (a + kuY ~ ^ (P + B«) i = /(Z2 

 d'où 



^f + ilLA^A — ^p3B]z< + 6 [/•aUa — Ê/|32B2]i(2 



-f 4 [/"aA3 — "(/PB3]î(3 ^ /cC2u^ — ^Z2 



D'après la méthode de Fermât, j'écrirai 



Z = y -f Su 4- Gm2 



