236 A. GÉRARDIN 



d'où les solutions 



X = 76a3 4- 96a2p -j- 135ap3 _^ ^56^3 _|_ 13y(^9a + 12(3) 

 Y = 52a3 ^ 28a2|3 — 96a.e2 _ 57133 _|_ 13y(16« + 19p) 

 Z = yA2 + SmA — m^ 



Plusieurs auteurs ont étudié 



aX' + 6Y-i + cfX2Y2 = cT? 



et ont donné d'élégantes formules où X et Y sont du 4^ degré ; mais 

 on n"a pas ainsi toutes les solutions (Desboves, N.A. 1880, p. 461). 

 Il est facile d'obtenir une solution générale du 3^ degré pour 



fx'' -\- gx^y -|- hxhj'^ + kxy"^ -{-■ ly'' = fT?. 



Le problème d'EuLER : 



x^ zt mx^y'^ -\- Y' = z2. 



n'est plus alors qu'un cas particulier de notre théorie, et il suffira 

 d'avoir une solution simple de la question pour en tirer immé- 

 diatement une solution générale du troisième degré. 



Notes dive7'ses sur la résolution de a^ ± b^ ± c^ ^= x^ 

 Pour a^ 4~ ^'' + c- = c/"*, M. Escott cite 



a = mn, 6 = n (m -|- n), d =: ?n2 -j- mn -f- n^- 

 c = m (m -|- n) [m^ + mn -\- 2?i2) 



On connaît aussi, par exemple 



[x'* -1- 2ii'>y — [x'* — 2y'')^ + {2x^y)'' + {8x-y^)^ 



= (2a:2(/2J< ^ {2x^yy + (^8 _ ix'<y'< — 4</8)2 



d'où, en passant, une solution de 



A^ + B2 = C^ + D2 



J'ai déduit de ces recherches 



■ [x* — 2y^Y + {2x^yY + [ixy^]^ 

 = {x^-{-2y^)^-{-{2xy3y' -[-{xy^y 



