SUR QUELQUES EQUATIONS INDETERMINEES 237 



En cherchant à résoudre les équations 



«* + y-* + z'< = U\ X^ -f y4 -f z< + t'' = u\ 

 M. E. Fauquembergue a rencontré les identités suivantes : 



(a^).i + (a^)4 4. (p^)4 :3z (a^ + «13 + [32)2 



(2a2pY3).i + (2ap2y3).J 4. [(«2 _ p2)^.'.]4 + [ga^ (a'' + y^)]' 



= [y)2 _ 4a2p2 («4 _|_ p<)2j2 



a, j3, Y étant une solution de a^ + [B^ = y^, ce qui revient à dire que 

 l'on peut prendre 



a = m2 — n^, p =: 2mn, -( = m? -{- n^ 



les nombres m et n étant des entiers quelconques. Mais les seconds 

 membres de ces identités ne peuvent devenir des bicarrés, et la 

 démonstration en est facile. 



D'ailleurs, voici ce que dit Euleh à ce sujet (G. A. G. IT, p. 281 et 456) : 

 <( Gertum est, nequidem exhiber! posse tria biquadrata, quorum summa 

 sit pariter biquadratum, sed ad minimum quatuor biquadrata requiri, ut 

 eorum summa prodire queat biquadratum, quanquam nemo adhuc talia 

 quatuor biquadrata assignare potuerit ». 



« ... Quin etiam equidem hactenus frustra sum occupatus in quatuor 

 biquadratis inveniendis, quorum summa esset pariter biquadratum. At 

 vero quinque biquadrata pluribus modis dari posse observavi, quorum 

 summa est biquadratum. >^ 



Voir aussi, à ce sujet les O.P. (Problema difflcillimum n" 50, p. 216 

 ou A. M. 1.281). 



M, Artemas Martin (G, R. du 2^ congrès intern. des Math. publ. par 

 DuPORCQ, 1902, p. 239), a donné des solution générales de 



x^ + y'' + z* + t* -\- u^ — a^ 



sous le titre : A rigorous method of fmding biquadrate numbers whose 

 sum is a biquadrate. Voir aussi Math. Magazine (janv. 1886) uo article du 

 même auteur intitulé : about biquadrate numbers whose sum is a 

 biquadrate. 



M. A. Martin cite par exemple : 



(4w2 — 12n2)'' + (2m2 — 12mn — 6n2)'* + {2m^ + 12mn — Qn^}^ 

 + (4m2 + 12n2)4 + {3m^ + 9n2)4 = (5„i2 + ignS)'' 



