238 A. GÉRARDIN 



J'en conclus que la première ligne est aussi égale à 



(4m2 + 12n2)'' + 2(2m2 + 6n2)'i 



M. E. Fauqtjembergue cite 



[lix'' + y^Y — (4a;' — y'')'' + 2 (4.T3y)^ + 2 {^x\i^y 

 identité que j'ai aussi rencontrée dans mes études sur 



(p" 4- ng")" rt (p" — ng")« = 2 (a« + P'^..) 



Résoudre. — x' -\- y'' -\- z'^ =^ a?' A^ b'^ 



Ceci est démontré si a?, y, z sont les côtés d'un triangle rectangle, 

 en nombres premiers entre eux ; en effet 



= (U^ + 4k2v2 — p-S)2 -I- (yi 4- 4«2y2 _ yi)2 



Voici une autre solution de la question : 



(m2 -f 2n2)^ + (m2 — 2n2)4 + (4wn)^ 

 = (m'* — 12m2/i2 -f- n'')2 -f- (m'' + 12m2n2 -f- 4n'*)2. 



Résoudre. — x^ -^ y^ = z^ -\- t'' 



Cf. EuLER, observationes circa bina biquadrata, quorum summam 

 in duo alla biquadrata resolvere liceat (C. A. C, I, 473); dilucidationes 

 circa binas summas duorum biquadratorum inter se sequales 

 {id., II, 450). 



MM. E. Fauquembergue et Desboves ont étudié ce problème, dont 

 les solutions générales connues sont malheureusement d'un degré 

 trop élevé, et que nous espérons abaisser plus tard. 



Résoudre. — x^ -\- y^ -\- z'* = t'' -f- u^ 



J'ai trouvé des identités simples ; dans la seconde, poser 7i = 1 



2 (p2 + pg + q^Y' = (p2 - g2)/. _^ (p2 _ 2pg)l + (g2 _ 2pg)4 

 (p« + 4p/i2/8).i ^_ (6p/t2/8)-i _^ h {pH + 3/ip^Z-^ — ihH^Y 



= (p9 + 2p/l2/8)i -f /i(p8/ _ 3/j.pip _ 4/i2/9)4 



J'en tire le théorème suivant : Le bicarré d'un entier quelconque 

 peut être représenté 2^a.r la différence de deux nombres de la forme 

 u* -|- hv^, le nombre li étant un entier quelconque. 



