240 A. GÉRARDIN 



Soit maintenant 



x-i = 2/^4- A-z2 (3) 



Cette valeur, portée en (2) donne, avec S == ^U 



^y^ + \{h^ — 1) z^= U2 (4) 



Enfin, avec A = 2? -f- 1, il suffît de résoudre la double équation 

 suivante, en nombres entiers, pour avoir une solution générale du 

 problème. 



?y2 ^ (2/ + 1) z2 = a;2 



(2/ + 1) J/2 _|. (2/2 -f 2/) z2 = U2 



Exemple. — Si Z = 0, il suffît de poser 



U = ?/ = p2 — ^2^ 2 = 2pg, .ï = J32 _j_ qi 



On trouve alors, après division par un facteur commun, car on a 



pS ^ I4p^gi + g^ = (p^ + 2p3g + 2p2ç2 _ 2pg3 _|_ qi) 



(p4 — 2;j3ç + 2p2g2 _^ 2pg3 + g^) 



la solution suivante, qui est connue 



(p4 _ ^4)4 ^ [2pg(p2 _ g2)J4 _|_ [2pg (p2 + ç2)]4 — (p8 _[_ 14piç', _|. g8)2 



Je possédais ces solutions en 1907, mais je me suis aperçu que 

 M. E. Kauquembergue avait déjà trouvé cette réponse, par une 

 méthode que j'ignore (I.M. 74, 1894, 167). 



Il faut donc rechercher de nouvelles valeurs de l permettant de 

 résoudre (A), ou bien démontrer qu'on ne peut en découvrir. 



Lire les travaux de Lebesgub, Euler, Genocghi, Mathew Collins. 



On peut employer la même méthode avec un nombre supérieur 

 de bicarrés. 



Résoudre. — xyz [x -\- y -];- z) =^ X.^ 



J. A. EuLER a étudié ce problème (O.P., 239 ; A. M. I, p. 122-127), 

 et voici comment il y parvient. Pour trouver des solutions de 



(p3 _ qi) (qi — r2) == m', 



