SUR QUELQUES EQUATIONS INDETERMINEES 243 



Je note qu'en partant de 



X =: — a^, y z= — 62^ 2 = c^, oa doit avoir : 



a262c2 (c2 — «2 _ 52) _ X'. 



Or c- — a- — 5'^ = c?2 gg^ résolu par 



c = m2 — mn + n2, a z= m (m — n) 

 b z= n {m — n), d = mn 



Il reste ftôcc? = X- : or 



abcd := rH2H2 (m — n)2{m2 — mn -{- n^) 



La suite est évidente. 



Le problème admet naturellement d'autres solutions, et je puis citer 



X = l, y = 2, z = 24, X = 6 



x=:iMS, y = )96, z = l.i52, X=: 1.008 etc.. 



J. A. EuLER cite d'autres formules que celles reconnues fausses ; 

 mais ces nouvelles identités du 16® degré sont naturellement inabor- 

 dables, les nôtres sont du 8*=. 



On rencontre des problèmes analogues dans la décomposition des 

 nombres en bicarrés. On sait par exemple que l'on a : 



(a + 6 + c)-'' + a'' + 6' + c'' 

 = (a + b)'' + (a + cy + (& + c)'' + i2abc{a + 6 + c) ' 



et il s'agit de résoudre 



12rt6c (a + 6 + c) = X^ ou s^ (E) 



Il existe des solutions simples, par exemple : 



a = i, 6 = 2, cz=6; a = — 2, 6 = — 6, c = 9, X = 6. 



mais je n'insiste pas sur ce problème spécial, pour ne pas déllorer 

 un concours ouvert (S.Œ., août 1911, p. 127). 

 D'après L. Euler, on ne pourrait avoir 



12a6c (a + 6 4- c) — a'< — b'> — c* = y'> 



le nombre 12aôc [a -\- b -\- c) étant bicarré. 



