NOTES DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 57 



la substitution linéaire 



( u = M<a + Wafi + n-il 

 1 w = ^<;^a + it'op -|- w^^(, 



dans laquelle a, fi, y, désignent les nouvelles variables, tandis que 

 {u^, Vjf, îv^), (Mo, ^2' ^^2)' (^31 P31 ^^3) représentent des constantes, 

 transforme la fonction donnée en la suivante 



S(apy) ^ S,,a2 + S.^p^ + Sggf + 2S,3,ey + 2S3,ya -f âSi^afi, 



laquelle admet pour discriminant 



V V y; 



^^^ ^^-2 il^3 



221 ^22 ^23 



V V V 

 -^31 -^32 -'33 



Or une forme tangentielle, telle que S (uviv), est liée à la forme 

 ponctuelle correspondante S {ocy^) non seulement par les valeurs 

 des coefficients, lesquels sont, pour la forme tangentielle, les déter- 

 minants mineurs pris dans le discriminant de la forme ponctuelle 

 des coefficients des termes correspondants de celle-ci, mais encore 

 par les significations des variables {uvic) d'une part, {x y z) d'autre 

 part, ces deux sortes de variables étant en outre liées par la relation 

 générale : 



ux -\- vy -|- ivz 



0. 



11 suit de là qu'un changement de coordonnées pour la forme 

 ponctuelle entraîne un changement corrélatif de coordonnées pour la 

 forme tangentielle correspondante et l'on sait que la seconde substi- 

 tution a reçu le nom de subtitution inverse de la première. Si, par 

 exemple, on a efïectué la substitution ponctuelle. 



X =^ X{k -{- ,X'2[J- + OC-^'I 



y = y\^ + y 2?- H- yz'' 



z = z^\-\- z.2<^ + 23V, 



dont le module est 



il faut en même temps effectuer la substitution tangentielle 



i u ■==. u^cL -\- M2P + M3Y 



] V = v^x+ W2P -f- v^-^ 



