74 JOSEPH DESCHAMPS 



Formons alors la combinaison linéaire 



pS + gT := (pai + qa^) œ^ + {pb^ + gft,) 2/^ + 2 (p/i< + g/12) a;?y, 



dans laquelle p et 5' désignent deux constantes arbitraires. Nous ob- 

 tenons une forme générale à deux variables dont le discriminant 



(32) I P^i + Q^-2 Phf + qfh I 

 I ph\ + Q'^*2 P^i + qh I 



peut être développé suivant les puissa nces croissantes et décroissantes 

 de p et q. Ce développement est le suivant : 



/og|\ I «I ^1 I „2 I ) I ^1 ^2 I I I % ^< 1 I nr, 4. I ^^^2 '*2 1 f,2 



^ ' \h^ b^i^ ^ i\ hf 62 1 + I /*2 6, h ^^^ + Ua 62 1 ^ ■ 



Les coefficients de p'^ et c/^ sont les discriminants C,2, C22; quant 

 au coefficient de 2iq, il s'obtient en remplaçant dans le discriminant 



I ^1 ^ii I 

 I /i| bi I 



l'indice 1 par l'indice 2 alternativement dans la première et la 

 seconde colonne et faisant la somme des deux déterminants ainsi 

 obtenus. La fonction C,2 des coefficients de la première forme se 

 trouve ainsi remplacée par une fonction du second degré des coeffi- 

 cients des deux formes que nous désignerons par C,2, et dont la 

 valeur développée est 



(33) Cf2 = a\b2 + b\a.2 — 2 h ih.2. 



La forme de ce développement se déduit d'ailleurs aisément du 

 développement 



C = ab — ]f' 



du discriminant quadratique général en donnant dans chaque terme 

 toutes les positions possibles aux indices 1 et 2. 



Cela étant, effectuons dans chacune des formes S et T et aussi dans 

 la formels -|- qY le changement de variables indiqué précédem- 

 ment. Nous aurons d'après ce qui a été démontré les identités 



S(Xijl) ^ Sh^2 ^ 830,^2 _^ 2S,oV, 

 T(Xjj.) ^ T^^Xa + 'ï.^^i + 21,2^^. 



