NOTES DE GEOMETKIE ANALYTIQUE 



Il en résultera Tidentité 



7'3 



(•34) pS [xy) + qT [xy) = pS (X-j.) + qT {\^) 



= (pS,, + qT,,) X2 + (PS22 + 3T,,) 1^2 + 2 (pS,o + gT^2) X,^. 



Le discriminant de cette dernière forme quadratique en X et [a est 



Ce discriminant peut être développé, comme le discriminant (32), 

 suivant les puissances des constantes p et q, ce qui donne 



fQKn I S|i §12 I „2 I \ I Su T|2 I , I 1\\ s, 2 I ( „^ 1 |Tn T,2 I 2 



I oo) 002 I (I ^2) "^ 22 ' I ^21 '-'22 ' ) I ' 21 ^22 | 



et l'on sait, d'après la théorie générale des invariants, que les coeffi- 

 cients des divers termes de ce développement sont des invariants de 

 la combinaison linéaire pS + 9'T. En ce qui concerne les coefficients 

 de p^ et de 9-^, cette invariance résulte directement de nos identités 

 fondamentales; nous avons en effet démontré l'identité générale 



Su S.|2 

 §21 §22 



^ I X., 2/2 



le coefficient de C étant précisément le carré du module de la trans- 

 formation effectuée. On a donc en particulier 



S|( Sj2 

 §24 §22 



Tu T\,2 



T22 T22 



= c A '^'' y^ \ 



^^ I ^2 y-i I 



s^ G. I '^' ^' I- 



-' I x-2 y-i 1 



et par suite aussi 



(36) 



§11 Ti2 



}\{ §12 



l21 §22 



— r ^\y\ 



I •^2i/2 I 



Il est facile d'ailleurs de démontrer directement cette dernière 

 identité. On a en efïet : 



§M T.2 

 ■^21 ^ 22 



1 1 



2 (•2^l§ XI + y^^'yl), 2 G^^|TV2 + yJ'y2) 

 1 1 



ô ('^2§'.c| + y2§Vl)' 5 (•^2T'.r2 + */2TV2) 



^1 Vi 



«2 2/2 



X 



2 '^ 'i^H 2 '^ y* 



i T' -i T' 

 ^ 1 j;2 g A 72 



