78 



JOSEPH DESCHAMPS 



par rapport aux coefficients de la première forme et du second degré 

 par rapport à ceux de la deuxième sera désigné par D^^s. 



Avec ces notations le développement (38) prend la forme simple 



(38'; 



D,3p3 -f D^2op2g + J),^2pq^' + Dosg^. 



Quant aux valeurs développées de D^2^ et D^2^' nous les écri- 

 rons de la manière suivante : 



D^22 ^ A^2a.2 + B^-ib-^ + C,2C2 + 2F,2f., + 20,20^2 + 2H^2/t2 



D,22 ^ A22«< + Bo26i + C22C, + 2F.2'4'i + 2G22^, + 2H22/11, 



en indiquant ainsi que les mineurs A, 2, B^^,..., sont des fonctions du 

 second degré de la première forme, et les mineurs A22, B22, ..., des 

 fonctions du second degré de la deuxième. 



Cela étant, effectuons sur chacune des formes S et T et aussi sur la 

 forme pS -f- 9'T le changement de variables indiqué précédemment. 

 11 nous viendra 



pS (xyz] 



4- gï {'Vtjz) = pS (Xav) + qT (X-j-v) 

 X2 + (PS22 + gT2o) 1J.2 + (PS33 + gT33) 



+ 2 (PS23 + gToa) p-v + 2 (pS3^ + qTs^) v^ + 2 (pSi2 + çT^2) X-., 



le discriminant de cette dernière forme quadratique en X, [jl, v, 

 étant 



(39) 



pSH + gT^„ 

 pSai + gT2^, 

 PSg^ + 9T3,, 



pS,2 + gT,2, 

 PS22 + gT22, 

 PS32 + gT32, 



pS,3 4- gT,3 

 PS23 + ÇT23 

 PS33 + 9T33 



Ce discriminant peut être développé, comme le discriminant (38), 

 suivant les puissances des constantes p et q, et Ton sait, d'après la 

 théorie générale des invariants, que les coefficients des divers 

 termes de ce développement sont des invariants de la combinaison 

 linéaire pS + qT. En ce qui concerne les coefficients de p^ et de ^^, 

 cette invariance résulte directement de nos identités fondamentales; 

 nous avons en effet démontré l'identité générale 



