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JOSEPH DESCHÂMPS 



^21 ^22 



A92 H^S Go2 Xi X.2 



H22 Bf F22 y, ?/2 



G2- 1^2" ^2^ ^] "'2 



a:, ,//^ 5^ 



Xo 2/2 -2 ^ 



Nous nous proposons de chercher un développement du coefficient 

 de pq. 



Nous avons d'abord, en remplaçant les éléments par leurs valeurs 

 développées et appliquant les règles de multiplication des tableaux 

 rectano-ulaires : 



S^^ T22 



§21 T22 



1 1 



g [x^S'xi + 2/|S'jH + 2|S'^0, g (^iTx2 + yiTya + =)T..2 



^'C2S'a:, + î/2S'r| + 22S'r.|), 5 (a;2T'x2 + y2T'.r2 + 22T';2) 



Xf î/^ Zf 



'^^2 ?/2 ^2 



X 



111 

 1 1 1 , 



(42)- 



'^'l Vi -K II v/ Il «1^1 + ^^1^1 + Ô'H^I ' ^^\^\ + ^l^l + U^-K , Çl2^\ + /'l,y I -T- C|^1 I 

 «2 2/2 Z2 1 1 I U2''i'2 + /»2y 2 + â'252 > ^hX-2 + ^2?/ 2 + ^2-2 , (/2«2 + f l2/2 + ^2^2 ' 



De même 



T)i S(2 I ^^ Il ^1 '*/i ^< Il 



Toi S22 I II ^2 2/2 ^2 II 



(43) 



Il «2^1 + hy\ + 92- \, KX\ + ^2^1 + /'2Z|' &2'^'l + f-2y\ + <^i^\ 



Il «1^2 + h\ii2 + g\^2, hiX2 + 6,2/2 + A-2, ô'i''ï^2 + Uy-2 + C2-2 



Ajoutons les égalités (42) et (43) en effectuant les produits des se- 

 conds membres suivant les règles connues, il vient après réduction : 



I ShTi2 I I I TiiSi2 j 

 I 82^X22 I 1 T21022 I 



= (2/1^2 — Zl?/2) [^\2{yt-2 — 21^2) + H,2(3ia?2 — X^Z^) + Gi2{Xiy2 — V^X^)] 



+ (Z4^2 — «.(Za) [H,2(yiZ2 — 21^2) + Bi2(zia;2 — 3Si^2) + Fi2(.î;.2/2 — 2/^-^2)3 

 + (-^^1^2 — 2/r^'2 [612(2/1^2 — 2iy2) + F^2(s^aJ2 — ^1^2) + C,2(a?iy2 — yiC2)] 



Or, on peut reconnaître dans le second membre de cette dernière 

 égalité le développement sous forme de produits de déterminants du 

 déterminant suivant : 



A(2 Hi2 Gi2 ^i 



a;2 



^^2 

 2/2 











