NOTES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE 



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pS -f- 9'T le changement de variables indiqué précédemment. Il 

 nous viendra 



pS{xyzt) + qT{xyzt) == pS (XrjLvp) + gT().[jLvp) 

 ^ (pS„ + gT„)X2 + (PS22 + qT-22) !^' + (PS33 + q'hs) ''' 

 + (pS,,i + qlu) P' + 2(joS23 + gïo3) v;j. + 2 (^83, + gTgjjvÀ 

 + 2 (pS,2 + gïia) X^ 4- 2 (pS^, + qT^,}lo + 2 (pS^^ + qTi'M 



+ 2(pS34+5T3,)vp 



forme quadratique en 1, p., v, o, dont le discriminant 



(48) 



pS^^ + qT^^, pS,3 + gT^2, pS^3 + gT^3, pS^, + gï„ 

 pS2, -f ÇT21, pSo2 + 9T22, PS23 + gT23, pS2j + gTa,} 

 pSa, + gTg,, PS32 + gT32, PS33 + qT^.^, PS3.5 + gÏ34 

 pSi, + qTu, PS,2 + qT,2, pS,3 + gT,3, pS,, + gï,, 



peut être, comme le discriminant (47), développé suivant les puis- 

 sances de p et q. On sait, d'après la théorie générale des invariants, 

 que les coefficients des divers termes de ce développement sont des 

 invariants de la combinaison pS -{- qT. Or, de même que, en ce qui 

 concerne les coefficients de p-^ et de q^ cette invariance résuite direc- 

 tement de nos premières identités fondamentales, de la même ma- 

 nière nous pouvons démontrer directement l'invariance des autres 

 coefficients et obtenir par exemple l'identité 



(49) 



Tfi S 12 S^3 Sj/, 



T2\ S22 §23 S2/, 



T3< S32 S33 83/^ 



T^^ S42 S/,3 8/,4 



E<32 



Xi ?/, z^ t^ 



*2 2/2 -^2 ^2 



^3 Vs H h 



Xi 2//, 3,, ti 



Enfin, nous pouvons dans le discriminant (48) considérer le mineur 

 symétrique du troisième ordre 



(50) 



p8^^ -]-gT^^, 

 pSo, + gT2,, 



p8i2 + gï,2, 

 P822 + gT22, 

 P832 + ÇT32, 



PS,3 + gT,3 



P823 + gT23 

 PS33 -j- gT33 



susceptible lui aussi d'être développé suivant les puissances de p et q. 

 Les coefficients des termes en p'^ et q^ sont des déterminants suscep- 

 tibles d'être .transformés d'après nos premières identités fondamen- 

 tales, d'après lesquelles en remarquant que les mineurs désignés 

 par A, B, ..., F, G, ..., L, M, N sont ici du troisième ordre, nous 

 pouvons écrire 



