NOTES SUR l'interpolation 93 



de valeurs de la variable. Il peut arriver, et il arrivera souvent dans 

 les applications, qu'à ces données viennent s'en ajouter d'autres ; par 

 exemple, il est possible qu'on connaisse, pour certaines valeurs de 

 la variable, celles de la dérivée de la fonction, au lieu de la fonction 

 elle-même. II y a quelquefois des valeurs remarquables delà variable 

 pour lesquelles on sait que la fonction prend des valeurs de plus en 

 plus grandes, pouvant analytiquement être assimilées à l'infini. 



D'autres fois, par la nature même de la question, on sait que la 

 fonction ne peut dépasser certaines valeurs limites, ou qu'elle ne 

 peut prendre aucune valeur Comprise dans un certain intervalle. 



Toutes ces conditions peuvent varier à l'infini, et on ne saurait se 

 proposer d'indiquer une méthode générale les englobant toutes. Seu- 

 lement, il importe de bien se rendre compte que les questions mul- 

 tiplesqui s'ensuivent, très simples quelquefois, souvent d'une extrême 

 difficulté, font partie du problème général de l'interpolation, qui 

 pourrait, après les explications précédentes, se traduire sous la 

 forme que voici : 



« Trouver une fonction qui satisfasse le mieux possible à un 

 ensemble de conditions d'égalité ou d'inégalité données. » 



En terminant ce chapitre, nous ferons simplement remarquer 

 que nous avons supposé des fonctions uniformes, c'est-à-dire ne pre- 

 nant qu'une seule valeur pour une valeur de la variable (ou pour un 

 système de valeurs des variables). Il n'en est pas forcément toujours 

 ainsi, notamment dans les questions de géométrie. Mais, lorsqu'il 

 s'agit des applications pratiques, on peut, presque toujours, assimi- 

 ler avec avantage la fonction que l'on cherche à une fonction uni- 

 forme, sauf à recourir à autant de formules analytiques différentes 

 que la fonction peut prendre de valeurs. 



CHAPITRE II 



Formule de Lagrange 



6. Détermination. — Le problème qu'il s'agit de résoudre est celui 

 que nous avons indiqué ci-dessus fl), pour une fonction d'une seule 

 variable. On fait disparaître l'indétermination qu'il présente en assu- 

 jettissant la fonction cherchée : 



1° A être un polynôme algébrique ; 



2" A avoir au plus pour degré le nombre n de valeurs correspon- 

 dantes données de u et de x, diminué d'une unité. 



