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S'il en est ainsi, et en appelant : • 



f{x) = ao-x'^-i + a^x"-^ + . . . + aa-^x + a„_i. 



le polynôme cherché en question, nous voyons que les conditions 

 données peuvent s'écrire : 



«o^i""^ + flia^i""^ + • • • + a«-i = "i, 

 aQXc^"-'^ + a^x^'-^ + . . . + a„_i = a^, 



a^^x, 



,"-1 + a^x,,''-^ + 



a«-i 



Dans ces relations, tout est connu à l'exception des a. 



Le nombre des inconnues a,,, a,, ..., a„_, est de w, c'est-à-dire 

 égal à celui des équations ; et, comme celles-ci sont linéaires, on 

 aura un système bien déterminé en général, le déterminant du sys- 

 tème ne pouvant pas s'annuler dans l'hypothèse admise où toutes 

 les valeurs x^^ x^^ ..., Xn sont différentes les unes des autres. 



7. Première forme de la solution. — La question, sous la forme 

 même où nous venons de la poser, comporte une solution toute natu- 

 relle, qui consiste à résoudre le système écrit ci-dessus, et à trans- 

 porter les valeurs obtenues pour «y, a,, ..., «„_, dans le polynôme 

 f {x). En appelant A le déterminant : 



1 '^1 

 n—\ ^ n—2, 



2 ^2 



Xf, 



et A„_, A„_o, ..., A,, Aq, ceux qu'on obtient en remplaçant les x par 

 des t{ dans la première, la deuxième colonne, ..., on a: 



a„ = 



A„-i 



Qn-i = 



et par conséquent : 



1 



f{x) = - (A„_i a;»-i + A„_2a?"-2 +, 



+ ^ix + Ao) 



Si le déterminant A„_i vient à s'annuler, on voit que le degré du 

 polynôme / (x) peut s'abaisser. 



8. Solution de Lagrange. — La forme que nous venons d'obtenir, 

 et qui donne le polynôme ordonné suivant les puissances de x, n'est 



