NOTES SUR l'interpolation 95 



pas d'un usage commode dans les applications. Lagrange lui en a 

 substitué une autre, fondée sur la remarque suivante. Chacun des 

 déterminants A,j_, , ..., A,, A,, est une fonction linéaire deu^,U2, ..., w^; 

 par conséquent le polynôme cherché f [x] est lui-même une fonction 

 linéaire de u^, U2, ■■■■, w,i qui peut s'écrire : 



(1) f{x) = X^Uj + X2«2 + . . . + X„u„, 



X^,X2, ..., X,i étant des fonctions de ce. 



Pour déterminer ces fonctions, supposons que dans cette relation 

 nous venions à remplacer .x par l'une des valeurs Xi données à la 

 variable. Le premier membre deviendra Ui-; le second membre se 

 réduira aussi aie, si, pour oc = xi tous lespolynômes X^,X2, ...,X,iSe 

 réduisent à zéro, excepté X, qui se réduit à l'unité. La même re- 

 marque, appliquée à chacune des valeurs a-,, nous montre que Xj 

 doit s'annuler pour une valeur de x dont l'indice est l'un des 

 nombres. 



1,2,..., i — 1, i + 1, . . . n, 



et devenir égala 1 pour x = xi. 

 Donc 



X/ = k{x — Xj) ... {x — a;,_i) {x — X/+j) . . . {x — x„) 

 et 



1 = k{Xi — «i) ... {xi — a;/_i) [x,- — œ,+i) . . . [x, — a;„), 



c'est-à-dire qu'on a : 



(x — x^) ... {x — x,-_i) {x,: — a:/+i) ... {x — x,,) .^ 



(2) _ X, 



{x,■ — x-^^) . . . {Xi — a;/_i) [x,- — Xi+-i) . . . [x,- — x„j 



Avec cette définition de chacune des fonctions X„ la formule (1) 

 n'est autre que la formule de Lagrange. 



9. On peut encore l'écrire sous une forme différente. 



(1) Il est aisé de reconnaître que la somme 



Xi -l-Xo + ... -f-X,, 



est identiquement égale à l'unité. En effet cette fonction S (a) est de degré ?i — l 

 au plus. Si nous supposons Ui = îto = ... = u„ = 1, nous aurons f[x) = (S(.z') = 1, 

 pour les n valeurs a;,, :c.^, ..., x„ de la variable. Donc S (a;) — 1 s'annule pour 

 ces n valeurs, ce qui n'est possible que si elle est identiquement nulle. C'est là 

 d'ailleurs une proposition classique. 



