96 C.-A. LAISANT 



Posons : 



© {x) = (œ — Xj) {x — X2) ... {x — x„). 



Delà, 



CD[(//) Jb Jb-1 tX- "-"2 ^ ■ eX'/i 



.'(0.) = ^^ + ^^ + . . . + ^^. 



Si nous remplaçons x par ^,, tous les termes du second membre 



s'annulent, sauf un seul, et ^ représente la valeur de ©' {œ,) pour 



X =x,-. 



Il suit immédiatement de là que Xi peut s'écrire : 



X, = 



[X Xi) 0- [X,-} 



et par conséquent la formule de Lagrange peut prendre la forme : 



fi^1 = 7 \ '/ N "1 + 7 ' \ » X «2 + ••• = S -vH"n — 



[X — iCi) cp (a^i) -" (a; — a^g) cp [x^) -^ <?(••»() a; — Xi 



10. La formule de Lagrange ayant ainsi fourni le polynôme f{x), 

 il est clair que la fonction : 



ou 



/(.x) + (a; — x^) {x — a-a) . . . (aï — a;„) $ (a;) 

 /(a;) + cp (a;) (f, (x) 



satisfera aussi à toutes les conditions imposées, <ï> (x) étant une fonc- 

 tion arbitraire simplement assujettie à rester finie pour chacune des 

 valeurs a?,, â^, ..., x„ données à x. Si, par exemple 4> (x) est un 

 polynôme arbitraire en x, cette expression donne tous les polynômes 

 de degré quelconque qui satisfont aux mêmes conditions. 



Nous aurons occasion d'utiliser plus loin cette simple remarque. 



11. Considérons maintenant une fonction quelconque de ar, 



. u —F {ce) 

 et supposons que nous venions à lui substituer la fonction : 



o'{Xi) X Xi 



