NOTES SUR L'iNTEnPOLATlON 97 



par application de la formule de Lagrange. On peut calculer la dif- 

 férence entre les deux fonctions, ou, comme l'on dit souvent, l'erreur 

 commise 



^ ' '^ [Xi) X Xi ^ ^ ' 



Cette différence, s'annulant pour x = x^, Xc^^ ..., x^i a la forme : 



{X X^ [X X^ ... [X Xn) p» 



en vertu d'une proposition connue, X représentant une valeur 

 moyenne entre a?,, x.^_^ ..., x,^. Mais le second terme de l'expres- 

 sion de '\{x) est un polynôme en x de degré, n — 1, si bien que 



Y{oc) = Y"{x\. 



L'erreur est donc © ix) — 7-^) et l'on a : 

 ' ^ n\ 



„. . ^ cp(a;) F (a;,-) , , , F"(X) 

 ' o [Xi] X — Xi ' ' ni 



12. La formule de Lagrange doit être considérée comme capitale 

 dans la théorie de l'interpolation. Elle se prête à des généralisations 

 parmi lesquelles nous en examinerons plus loin un petit nombre, et 

 elle a fourni matière à beaucoup de travaux intéressants. Au point 

 de vue des applications, elle présente, sous sa forme primitive, l'in- 

 convénient d'assigner à la fonction que l'on cherche la forme inva- 

 riable d'un polynône entier; cela peut souvent ne pas s'accorder avec 

 la nature de la question et les observations constatées ; ou, du moins, 

 cela peut jeter dans les expressions et dans les calculs des complica- 

 tions qu'on éviterait par le choix d'autres fonctions mieux appropriées 

 au problème que l'on se pose. 



CHAPITltK Ilf 



Formule de Newton 



13. Hypothèse sur les valeurs de la variable. — Jusqu'ici, nous 

 avons supposé quelconques les valeurs de la variable indépendante. 

 On peut admettre qu'elles se succèdent en progression par différence, 



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