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et cette hypothèse est d'autant plus naturelle que c'est justement ce 

 qui se produit dans laplupart des cas que présentent les applications. 



En partant de cette supposition, Newton, bien avant Lagrange, a 

 donné une formule d'interpolation qui est restée classique, et que 

 nous allons rapidement établir. 



14. Démonstration de la formule. — Pour la commodité des nota- 

 tions et des calculs, nous supposerons ici que les valeurs correspon- 

 dantes de la fonction cherchée t( et de la variable soient au nombre 

 de n-\- i, savoir 



et 



^0» ^0 + /î) a;o + 2/î, ... Xq + nh. 



Dans la suite (w), on sait qu'un terme quelconque Up est donné par 

 l'expression : 



«^ = (1 + A)P Mo = U(, + 2 ^uo + ^ %~ ' AgWo + . . . 



que fait connaître le calcul des différences; les A représentent ici les 

 différences successives de u^. 



Si l'on suppose successivement 23 =^ 0, 1, ..., w, cette formule se 

 limite à 1, 2, ... w -f- 1 termes, et donne m„, u^, ..., Un- Par con- 

 séquent, si nous y regardons p, dans les numérateurs, comme une 

 variable, et si nous créons entre p et x une relation telle que pour 

 les valeurs de p 



0, 1, 2, ... n, 



a? prenne respectivement les valeurs : 



a^o, Xq -i- h, Xq + 2h; ... Xq + nh, 



nous obtiendrons le résultat cherché, en poussant la formule jus- 

 qu'au terme en à."u^. Il suffit évidemment pour cela d'écrire : 



1 I X Xn 



X = Xq -\- pn, ou p = — - — ^5 



