NOTES SUR l'interpolation 99 



et nous avons finalement : 



u = Uo-i ^ Aao + ^^ A%o + • • • + 



h \ h 



1 ...P^V^«-P + 1 -A««o 



n! 



Telle est la formule d'interpolation de Newton. Elle donne, on le 

 voit, un polynôme de degré w, et comme résultat elle ne diffère pas 

 de celle de Lagrange, deux polynômes de degré n étant identiques 

 quand ils prennent les mêmes valeurs pour n -\- i valeurs de la 

 variable. 



Seulement, la forme de l'expression est tout à fait dissemblable, 

 ce qui est loin d'être indifférent dans la pratique. 



En écrivant z au lieu de ^^— r — -^ on a la formule plus simple : 



, ^ , z(z— 1)^2 , , z{z—l)...{z — n + l) 



qui résout la question suivante : déterminer un polynôme entier en 

 z, de degré w, qui prenne les valeurs : 



Uq, lli, «2, • • ■ ) U/i 



pour les valeurs 



0, 1, 2, ..., n 



de la variable z. 



15. Remarque. — On doit constater, parmi les avantages qu'offre 

 la formule de Newton, une propriété fort précieuse ; c'est que, 

 l'ayant appliquée jusqu'à une certaine limite, x,i = aj^ -f- nh par 

 exemple, correspondante m„, elle pourra servir encore si l'on vient à 

 connaître un nouveau couple de valeurs m„_^, et £c„ -j- (n -f- 1) à de la 

 variable et delà fonction. 



Pour ne pas compliquer les écritures, et pour faire comprendre en 

 même temps l'application de la formule au point de vue du calcul, 

 nous allons montrer ceci sur un exemple des plus simples. 



A une heure, trois heures et cinq heures, on a observé les hauteurs 



