NOTES SUR l'interpolation 101 



On voit, d'après cette citation, que le problème que s'est proposé 



P 



Cauchy consiste à trouver une fonction fractionnaire ^tj P et Q étant 



deux polynômes en a;, qui prenne n valeurs données m,, u.^, ..., u^ 

 peur n valeurs correspondantes oo^, x.^, ..., x,i de la variable. 



La question devient déterminée si l'on se donne les degrés p et q 

 des deux polynômes P, Q, pourvu que l'on ait la condition 



n = p -\- q -\- i. 



Pour le démontrer, et pour trouver en même temps une première 

 solution au problème, supposons que l'on ait : 



— P = Oq + ai a; + ... -}- apXP, 

 Q = bo-h b^x ^ ... -^ bçXff. 



Il résulte des données même qu'en chassant le dénominateur, et 

 remplaçant x par x^, x^, ..., Xn, on aura les équations linéaires et 

 homogènes en a^, a^, ..., «p, &q, b^, ..., b^: 



Oq + ciiXi + «2^1^ + ••• + OpS?/ + ^0^1 + biX^Ui + ... + hqX-^iu-^ = o, 

 Gq + àj^x^ + + hqX^^u^ = 0, 



«0 + a-^Xn + + bgXn^'Un = 0. 



Les a et les b étant considérés comme inconnues, nous avons 

 p-)-g'-|-2 = n-f-l inconnues et n équations homogènes. Les rap- 

 ports mutuels des inconnues sont donc déterminés ; et cela montré 

 du même coup que si p -{' q -{- i était supérieur à w, la question 

 deviendrait indéterminée, et généralement impossible si au contraire 

 P -{- q -\- ^ était inférieur à n. 



En désignant par u une valeur particulière quelconque de la fonc- 

 tion cherchée, différente de celles déjà données, et par x la valeur 

 correspondante de la variable, on a aussi : 



«0 + «1 ^ + + h.fXiu = 0. 



Si l'on adjoint cette équation aux précédentes, on obtient n -\- Y 

 équations homogènes, entre lesquelles on peut éliminer les n -\- i 

 inconnues, ce qui donne : 



l x-^^ x^ . . . xP u xu ... x''u 



1 Xi Xj^ . . . X^P Ui X^U^ . . . Xj^Ui 



1 Xji X,i , . . X",i Ufi X,iU,i . , . X' iilln. 



