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et cette équation, de la forme F (a;) -|- w G{x) = 0, donne la valeur 

 de u sous la forme demandée, et fournit ainsi une solution. 



17. Forme ex}3licite de la fonctioyi. — Ce que nous venons de dire 

 constitue plutôt une indication théorique qu'un résultat applicable. 

 Pour avoir une formule explicite, et arriver à la forme indiquée par 

 Cauchy, cherchons les valeurs des a et des h, ou plutôt des valeurs 

 proportionnelles, et à cet effet formons le tableau des coefficients : 



En supprimant dans ce tableau une colonne quelconque, on obtient 

 un déterminant. Représentons ainsi par : 



^0' ^iJ ^2) • ■ • -^pi 1^0' î^iJ ï^2) • • • 1j 



les déterminants qui résultent de la suppression des colonnes 

 successives. Ces quantités, affectées de signes convenables, que nous 

 supposons implicitement pour ne pas compliquer l'écriture, sont 

 proportionnelles aux coefficients a^, ..., hq, et il en résulte que nous 

 avons pour u la forme : 



Aq + Ai-r + . . ■ + A.„xP 

 Bo + Bi-x + ... +B,;xV 



Ce n'est pas encore celle de Cauchy; mais elle permet d'y arriver 

 assez facilement. L'inspection du tableau ci-dessus montre que chaque 

 terme d'un déterminant A contient q -\- i facteurs u d'indices diffé- 

 rents, et que chaque terme d'un déterminant B en contient q. 



Appelons kjij^ , . . . ,A'ç l'une quelconque des combinaisons q-\-ikq-\-i 

 des indices 1,2, ....,n; eijj.^ ... y.; l'une quelconque des combinaisons 

 qài q des mêmes indices. On voit que le numérateur sera de la forme : 

 'SXukQUk^...Ukg, et le dénominateur de la forme ^Yuj^Uj\,...iij^; dans 

 ces expressions les coefficients X et Y sont des polynômes en x qu'il 

 nous reste maintenant à déterminer. 



Pour cela, prenons en particulier au dénominateur le terme en 

 UkfUk.'>...Ukq., et soit Y son coefficient. Si nous pouvons faire en sorte; 



1° Que pour une valeur de X' dont l'indice est différent de/vo,^,, ...^kq, 

 le coefficient X s'annule; 



2° Que pour un indice compris dans les A-, excepté â,,, Y s'annule ; 



