NOTES SUR l'interpolation 103 



3° Que pour x =xk^^,XetY prennent la même valeur, 

 la question sera complètement résolue. En effet, comme il en sera de 

 même pour tous les termes du numérateur contenant Uk^, le quotient 

 se réduira précisément à î(Aq. 



Il est facile de satisfaire à ces trois conditions ; si nous appelons 

 1^,12,..., ip les indices étrangers aux h et qui sont évidemment au 

 nombre de jh puisque 'p -{- q -\- i =: n, nous voyons que X et Y 

 doivent respectivement avoir en facteur : 



{X X,-,) {X Xi.-^ . . . [x Xi,,) 



et 



{x — X/, ) {x — a-^.J {x — x^g). 

 En écrivant : 



-^ ^ (.r — -T,-,) jx — x,;) ... (.X — a,,) ^ 



lyi {x a^-,) [x — Xk,) ... {x X^,) 



(«■/ti— «m) - (-ï/l-i — •^'^) [Xk.—Xil) ... [X,, —Xi^) [Xk.—X,,^) ... [Xk — Xk^) 



on satisfera évidemment à la troisième condition ci-dessus. 



En résumé, la formule d'interpolation de Cauchy peut se mettre 

 sous la forme assez concise : 



U {x — o/ 



Xj) ""o""l 



y j^^ — ^ u, Uk . . . u,> 



n (x — ak) j, ' j, ' „ ' 



n (a-/ — a^/ 



où les i représentent tous les indices étrangers aux k, et les ^' tous 

 ceux étrangers aux k' . 



D'une application assez pénible, elle peut cependant rendre des 

 services dans certains cas. Elle se réduit d'ailleurs à celle de La- 

 grange, comme Cauchy le fait remarquer, lorsque </ = 0. 



Si j9 = 0, au contraire, on obtient immédiatement le résultat en 



1 1 



remplaçant u par - et u^ par — dans la formule de Lagrange : 



u = XiUj + Xaiig + • • . + X««„, 



