NOTES SUR l'interpolation 105 



' ^ ' a — h 



,1, ^ /,„,6,.) = /lfi^l^ii^, 



Cauchy (') a consacré un mémoire à l'étude de ces fonctions, et en 

 a donné d'importantes propriétés. Quelques-unes, les seules qui 

 nous intéressent ici, peuvent avoir des applications dans le problème 

 de l'interpolation, et nous les signalerons rapidement d'après l'étude 

 précitée du grand géomètre. 



Nous passerons sous silence les autres, qui se rapportent plus 

 exclusivement à l'analyse. 



20. Si, dans les équations de définition qui précèdent, on remplace 

 respectivement le dernier élément 6, c, d, ..., par x, on obtient très 

 facilement les relations 



f[x) = f{a) + {x — a)f{a,x), 



fix) = / (a) + [x — a)f {a,b) + {x — a)[x—h)f {a.b,x), 

 f{x) =f{a) + [x — a) f[a,h) + (a;— a) [x— h) f{a,b,c] 

 -\- {x — a) (x — b) [x - — c) / {a,b,c,x), ... 



De là, 



/(6)=/(a) + (6-a)/(a,6), 



fie) ^f{a) -^ [c — a) f {a,b) ^ {c — a) {c — b) f {a,b,c), 

 (3) { f{d) =f{a) + {d — a)f{a,b) + {d—a){d—b)f{a,b,c) + 



[d — a) {d — b) {d — c) / {a,b,c,d), ... 



Par conséquent, si Ton connaît les termes de l'une des deux 

 suites : 



fia), f{b), /(c), . f{d), 



f{a), f{a,b), f{a,b,c), f{(i,b,c4),..., 



les termes de l'autre s'en déduisent immédiatement. 



On constate très aisément que si f[x) re'présente un polynôme entier 

 en j;, de degré w, les fonctions : 



f{x), f{a,x), f{a,b,x), f{a,b,c,x),..., 

 (1) Œuvres, t. V (1" série), p. 409. 



