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sont des polynômes eyitiers en. x, de degrés 



n, n — 1, n — -2, n — 3, ..., 



21. Soit F (x) un polynôme entier en x, de degré n, défini par la 

 formule : 



(4) F(r)=/(a) + (r — a)/(a,6) + ... 



+ (.r — a) (.r— b) ... {x — k)f{a,b, ..., k,x); 



on aura : 



(5) F(a)=/(a), F [b] =/(è),..., ' F{k) = f{k) 

 et 



(6) f{x) = F{.r:) + {c.-a){r-b) ... {.r-k)fia,b, . . . k,x). 



On voit en effet que les identités (5) résultent du rapprochement 

 des relations (4) et (3), et que Ton obtient la formule (6) en retran- 

 chant de l'équation de définition (4) l'une des relations (2), convena- 

 blement choisie. 



22. Les fonctions inter polaires f {a, è), f[a, b, c),... / («, b, c, ..., Ji) 

 sont des fonctions syme'triques. 



« En effet, si dans la formule (4) on échange entre elles les lettres 

 a., b, c, ..., h d'une manière quelconque, les diverses valeurs de 

 F {x) que l'on obtiendra seront identiques, puisque chacune d'elles 

 devra vérifier les conditions (5) et qu'une seule fonction de a?, entière 

 et du degré w, peut vérifier ces conditions dont le nombre estn -j-1. 

 Donc le coefficient de x'\ dans le second membre de la formule (4), 

 ou l'expression f {a, b, c, ..., -k), sera une fonction symétrique de 

 a, b, c, ..., k (■•). » 



Remarquons enfin que si, dans l'une des relations (2), on suppose 

 que les valeurs particulières de la variable deviennent égales, on 

 tombe sur la formule de Taylor, d'où il suit qu'on a les identités : 



f"(x) 

 f{x,x) = /'(.r), f{x,x,x) = '~^', . . . 



23. Interpolation successive. — Lorsqu'on sait calculer les fonc- 

 tions interpolaires successives f (a, b), f[a, è, c), ..., la formule (4) 

 ci-dessus devient une formule d'interpolation qui fournit un poly- 



(1) Cauchy, loc. cit. 



