NOTES SUR l'interpolation 109 



x=:3; alors k'=o, et la formule y =7-)-^^ convient aux quatre 

 premières observations. 



Enfin, dans y=l-{-œ^-{- h!'x [x — 1) [x — 2), remplaçons?/ par 23, 

 X par 4; on a h" =0, et la formule y = 7 -j- a;'- suffît à représenter 

 tout le phénomène observé. 



Si la dernière valeur de y, au lieu de 23, était 22, on aurait 



-, et la formule cherchée serait alors : 



24' 



y = 7 + a-2 _ ^ a; (,r — 1) (x — 2) {x — 



CHAPITRE VI 



Autres formules. — Généralisations diverses 



25. Formelle trigonomëtrique de Gauss. — Dans un mémoire qui 

 n'a été publié qu'après sa mort('), Gauss a établi une formule d'inter- 

 polation qui résout d'une manière très élégante le problème suivant : 



« Trouver une fonction linéaire des sinus et cosinus d'un arc x et 

 de ses n premiers multiples, qui, pour 2n -|- 1 valeurs données à x, 

 prenne 2n -|- 1 valeurs correspondantes, également données. » 



La méthode de Gauss est un peu longue. M. Fouret ayant été 

 amené, il y a quelques années, à s'occuper de cette question qu'il 

 croyait nouvelle, en a donné une solution extrêmement simple (-) 

 que nous allons indiquer. 



Posons : 



(1) Aq 4- Bi sin.ïî -|- A, cosa; + ...-}- B^j sinnr + A„ cos ne = F(a;). 



11 est clair que la fonction chercliée F [x) s'obtiendrait en éliminant 

 Aq, B^, ..., B,i, An entre (1) et les 2n -[- 1 équation qu'on déduirait 

 de cette relation en y remplaçant x par les 2n -f- 1 valeurs données 

 a^,, a,, ,.., (Xi„, et F {x} par les (2w -f- 1) valeurs correspondantes 

 F (a„), F (a,), ..., F (a2„). 11 résulte de cette remarque que F (>•) est une 

 fonction linéaire et homogène de F (a^), ..., F (ao„), et que le coefficient 



(1) OEuvresde Galss, t. 111, p. 265-327. 



(-) C. R., t. XCIX, p. 1062-106-i. — Le présent exposé est rédigé presque tex- 

 tuellement d'après une note que nous devons à l'obligeance de AI. Fouret, et' 

 dont nous le remercions ici. 



